Закрепим понятие перпендикулярности прямой и плоскости конспектом урока. Предоставим общее определение, сформулируем и приведём доказательства теоремы и решим несколько задач на закрепление материала.
Из курса геометрии известно: две прямые считаются перпендикулярными, когда они пересекаются под углом 90о.
…
Теоретическая часть
Переходя к исследованию характеристик пространственных фигур, будем применять новое понятие.
Определение:
Из вышесказанного вытекает теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости:
На прямой a отложим отрезки одинаковой длины AC и AB. На поверхности α проведём линию x в произвольном направлении и не проходящую через место пересечения в точке «С». Линия «х» должна пересекать линии e, d и f.
Соединим прямыми точки F, D и E c точками A и B.
Рассмотрим два треугольника ACE и BCE. По условиям построения:
- Имеются две одинаковые стороны AC и BC.
- У них дна общая сторона CE.
- Два равных угла ACE и BCE по 90о.
Следовательно, по условиям равенства треугольников, если имеем две равные стороны и одинаковый угол между ними, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что стороны AE и BE равны.
Соответственно доказывается равенство треугольников ACD и BCD, иначе говоря, равенство сторон AD и BD.
Теперь рассмотрим два треугольника AED и BED. Из ранее доказанного равенства треугольников следует, что у этих фигур есть одинаковые стороны AE с BE и AD с BD. Одна сторона ED общая. Из условия равенства треугольников, определённых по трём сторонам, следует, что углы ADE и BDE равны.
Сумма углов ADE и ADF составляет 180о. Сумма углов BDE и BDF также будет 180о. Так как углы ADE и BDE равны, то и углы ADF и BDF равны.
Рассмотрим два треугольника ADF и BDF. Они имеют по две равных стороны AD и BD (доказано ранее), DF общую сторону и по равному углу между ними ADF и BDF. Следовательно, эти треугольники имеют одинаковые по длине стороны. То есть сторона BF имеет ту же длину, что и сторона AF.
Если рассматривать треугольник AFB, то он будет равнобедренный (AF равняется BF), а прямая FC является медианой, так как по условиям построения сторона AC равняется стороне BC. Следовательно, угол ACF равняется 90о. Что и следовало доказать.
Важным следствием из приведённой теоремы будет утверждение:
Использование теоремы для решения задач
Для закрепления материала, используя основополагающие условия перпендикулярности прямой и плоскости, решим несколько задач.
Задача № 1
Условия. Из точки A построить перпендикулярную линию плоскости α. Смотреть рисунок 5.
Решение.
На поверхности α проведём произвольную прямую b. Через прямую b и точку A построим поверхность β. Из точки A на линию b проведём отрезок AB. Из точки B на поверхности α проведём перпендикулярную линию c.
Из точки A на линию с опустим перпендикуляр AC. Докажем, что эта линия будет перпендикулярна плоскости.
Для доказательства через точку C на поверхности α проведём линиюd, параллельную b, и через линию c и точку A построим плоскость. Линия AC перпендикулярна линии c по условию построения и перпендикулярна линии d, как следствие о двух параллельных линиях из теоремы о перпендикулярности, так как по условию линияb перпендикулярна поверхности γ.
Следовательно, по определению перпендикулярности линии и плоскости, построенный отрезок AC перпендикулярен поверхности α.
Задача № 2
Условия. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры:
- угол DBF будет 90о
- сторона BD=12 см,
- сторона BF =16 см,
- BC — медиана.
Смотреть рисунок 6.
Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.
Решение. По теореме Пифагора, гипотенуза или сторона DF равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Длина BD в квадрате равна 144 и, соответственно, BC в квадрате будет 256. В сумме 400, извлекая квадратный корень, получаем 20.
Медиана BC в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и по длине равна этим отрезкам, то есть ВС = DC = CF = 10.
Снова используется теорема Пифагора, и получаем: гипотенуза C = 26, что является квадратным корнем из 675, суммы квадратов катетов 576 (АВ = 24 в квадрате) и 100 (ВС = 10 в квадрате).
Ответ: Длина отрезка АС равняется 26 см. Cистема отсчета читайте в нашей статье.