После рассмотрения натуральных чисел и действий над ними переходят к изучению правил сложения и вычитания дробей. На математике в 5 классе этой теме уделяется несколько уроков. Преподаватель не только даёт алгоритм вычислений, но и учит школьников применять знания на практике. Научиться правильно и быстро выполнять эти алгебраические действия важно, так как в дальнейшем это умение приходиться использовать практически при изучении любой науки.
Общие сведения
Дробные числа получаются в том случае, если один предмет необходимо разделить на несколько одинаковых частей. Проще всего разобраться в понятии можно на простом примере. Пусть имеется пирог круглой формы. Если разрезать его на четыре равные части, то говорят о четвертине, а если на две — половине. Но в математике эти слова имеют свои названия. Четвертину называют одна четвёртая, половину — одна вторая. Записывают их как отношение и используют для этого дробную черту.
По сути, дробное выражение представляет собой операцию деления. Например, если имеющийся торт нужно разделит на три равные части, то это действие можно записать как 1: 3. Полученные куски называют долями, а в математике — дроби. То есть каждая часть в примере, будет составлять от целого одну третью. Записывают это так: 1 / 3. Число, стоящее под чертой, показывает то, что торт был разделён на три равные части, а над ней — обозначает количество взятых долей.
Так как справедливо записать равенство 1:3 = 1 / 3, то к числам можно применить терминологию, использующуюся при делении. Верхнее называют делимым, а нижнее — делителем. Но для понимания, что речь идёт о дроби, в таких выражения используют свои названия — числитель и знаменатель. Черту же называют дробной. Поэтому можно сказать, что знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое число, а числитель — сколько одинаковых долей было взято.
Например, был испечён один торт. За ужином съели от него 4 / 6. Руководствоваться нужно тем, что в знаменателе стоит число, которое показывает, как было разделено целое, а в числителе, сколько забрано. Поэтому можно утверждать, что торт был разделён на шесть кусков, из которых четыре были съедены. Так как одна доля равняется 1 / 6, то на столе останется 2 / 6.
Существующие дроби разделяют по видам. Они бывают:
- правильные — выражения у которых значение числителя меньше знаменателя,
- неправильные — делимое больше или равно делителю,
- смешанные — комбинированное дробное выражение, состоящее из целого числа и неправильной дроби.
Правила действий
Чтобы научиться быстро прибавлять и вычитать дроби, нужно понимать правило приведения к общему знаменателю. Когда имеются выражения, над которыми необходимо выполнить действия, при этом у них разные делили, нужно выполнить преобразование. Например, пусть имеется дробь 3 / 5. Надо сделать так, чтобы в делителе стояло число 40. Согласно основному свойству числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же число. Поэтому можно записать так: 3 / 5 = (3 * 
/ 40 = 24 / 40. Другими словами, числитель увеличивается на множитель, равный числу, на которое поменялся знаменатель.
Таким образом, если имеются две дроби с разными делителями, то чтобы найти для них общее число, следует подобрать наименьшее значение, которое делится на один и другой знаменатель без остатка. Фактически это получается наименьшее общее кратное. Найти его можно, выполняя следующую последовательность действий:
- разложить каждый знаменатель на множители,
- из полученного ряда убрать повторяющиеся цифры,
- найти произведение оставшихся чисел, которое и будет искомым общим знаменателем.
Итак, существует два случая, с которыми можно столкнуться при прибавлении или вычитании. Первый достаточно простой, но при этом является частным случаем второго. Для лучшего восприятия алгоритм для каждого из случаев удобно записать в виде таблицы.
| Вид операции | Правило выполнения | Формула |
| Одинаковые знаменатели |
|
|
| Разные знаменатели |
|
|
Нужно отметить, что операции со смешанными дробями ничем не отличаются от рассмотренных выше. Единственно, действия с целыми частями выполняются отдельно от дробных, а затем записывается совместный результат.
Примеры решений
Подробное решение примеров дробей для 5 класса с объяснением поможет лучше разобраться в теоретическом материале. При этом полученный опыт позволит самостоятельно решать задания любой сложности. Вот типичные задачи, которые используются в рамках подготовки учеников в средних образовательных школах:
- Найти результат действия: 3 / 14 + 10 / 21. Дроби в выражении имеют разные знаменатели. Согласно алгоритму, их нужно привести к общему знаменателю, а затем с его помощью найти дополнительные множители. Для этого 14 и 42 следует разложить на простые числа: 14 = 2 * 7, 42 = 2 * 3 * 7. Отсюда следует, что НОЗ = 2 * 7 * 3 = 42. Далее, всё по алгоритму: ((3* 3) / 42) + ((2 * 10) / 42) = (9 / 42) + (20 / 42) = (9 + 20) / 42 = 29 / 42.
- Определить разность: 26 / 40 — 9 / 25. Пример решается аналогично предыдущему, но перед поиском НОЗ, первый член можно упростить. Для этого числитель и знаменатель нужно разделить на два: 26 / 40 = 13 / 20. Придерживаясь последовательности действий решение можно записать так: 13 / 20 — 9 / 25 = ((13 * 5) / 100) — ((9 * 4) / 100) = (65 — 36) / 100 = 29 / 100.
- Вычислить ответ: 3 (5/8) — 1 (9/10). В этом случае удобно целые части вычесть отдельно от дробных. Тогда, решение будет выполнено за два действия. Первое 3 — 1 = 2. Второе (5 / — (9 / 10) = ((5 * 5) / 40) — ((4 * 9) / 40) = (25 — 36) / 40 = 11 / 40. Таким образом, ответ будет: 2 (-11/40). Такая запись некорректная, поэтому из целого нужно вычесть дробное выражение. В итоге получится: (2 / 1) — (11 / 40) = (80 — 11) / 40 = 69 / 40 = 1 (29 / 40).
- Найти результат действия: 1 (2/5) + 4 / 5. В этом случае смешанное число удобно перевести в неправильную дробь, а уже после, выполнить сложение. Так, 1 (2/5) = ((1 * 5) + 2) / 6 = 7 / 5. Теперь получились две дроби с одинаковым знаменателем. Воспользовавшись алгоритмом из таблицы, найти их сумму будет несложно: 7 / 5 + 4 / 5 = (7 + 4) / 5 = 11 /5 = 2 (1/5).
Следует отметить, что последний пример можно решить, и не преобразуя смешанную дробь в неправильную. Можно выражение расписать как 1 (2/5) + 4 / 5= 1/ 1 + 2 / 5 + 4 / 5, а затем рассчитать ответ за два действия. Какой способ использовать, принципиальной разницы нет, но, пожалуй, первый удобнее и быстрее.