Правила по сложению и вычитанию дробей (математика, 5 класс)

После рассмотрения натуральных чисел и действий над ними переходят к изучению правил сложения и вычитания дробей. На математике в 5 классе этой теме уделяется несколько уроков. Преподаватель не только даёт алгоритм вычислений, но и учит школьников применять знания на практике. Научиться правильно и быстро выполнять эти алгебраические действия важно, так как в дальнейшем это умение приходиться использовать практически при изучении любой науки.

Сложение и вычитание дробей

Общие сведения

Дробные числа получаются в том случае, если один предмет необходимо разделить на несколько одинаковых частей. Проще всего разобраться в понятии можно на простом примере. Пусть имеется пирог круглой формы. Если разрезать его на четыре равные части, то говорят о четвертине, а если на две — половине. Но в математике эти слова имеют свои названия. Четвертину называют одна четвёртая, половину — одна вторая. Записывают их как отношение и используют для этого дробную черту.

Что такое дробь

По сути, дробное выражение представляет собой операцию деления. Например, если имеющийся торт нужно разделит на три равные части, то это действие можно записать как 1: 3. Полученные куски называют долями, а в математике — дроби. То есть каждая часть в примере, будет составлять от целого одну третью. Записывают это так: 1 / 3. Число, стоящее под чертой, показывает то, что торт был разделён на три равные части, а над ней — обозначает количество взятых долей.

Так как справедливо записать равенство 1:3 = 1 / 3, то к числам можно применить терминологию, использующуюся при делении. Верхнее называют делимым, а нижнее — делителем. Но для понимания, что речь идёт о дроби, в таких выражения используют свои названия — числитель и знаменатель. Черту же называют дробной. Поэтому можно сказать, что знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое число, а числитель — сколько одинаковых долей было взято.

Например, был испечён один торт. За ужином съели от него 4 / 6. Руководствоваться нужно тем, что в знаменателе стоит число, которое показывает, как было разделено целое, а в числителе, сколько забрано. Поэтому можно утверждать, что торт был разделён на шесть кусков, из которых четыре были съедены. Так как одна доля равняется 1 / 6, то на столе останется 2 / 6.

Существующие дроби разделяют по видам. Они бывают:

  • правильные — выражения у которых значение числителя меньше знаменателя,
  • неправильные — делимое больше или равно делителю,
  • смешанные — комбинированное дробное выражение, состоящее из целого числа и неправильной дроби.

Виды дробей

Правила действий

Как прибавлять и вычитать дроби

Чтобы научиться быстро прибавлять и вычитать дроби, нужно понимать правило приведения к общему знаменателю. Когда имеются выражения, над которыми необходимо выполнить действия, при этом у них разные делили, нужно выполнить преобразование. Например, пусть имеется дробь 3 / 5. Надо сделать так, чтобы в делителе стояло число 40. Согласно основному свойству числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же число. Поэтому можно записать так: 3 / 5 = (3 * 8) / 40 = 24 / 40. Другими словами, числитель увеличивается на множитель, равный числу, на которое поменялся знаменатель.

Таким образом, если имеются две дроби с разными делителями, то чтобы найти для них общее число, следует подобрать наименьшее значение, которое делится на один и другой знаменатель без остатка. Фактически это получается наименьшее общее кратное. Найти его можно, выполняя следующую последовательность действий:

  • разложить каждый знаменатель на множители,
  • из полученного ряда убрать повторяющиеся цифры,
  • найти произведение оставшихся чисел, которое и будет искомым общим знаменателем.

Итак, существует два случая, с которыми можно столкнуться при прибавлении или вычитании. Первый достаточно простой, но при этом является частным случаем второго. Для лучшего восприятия алгоритм для каждого из случаев удобно записать в виде таблицы.

Вид операции Правило выполнения Формула
Одинаковые знаменатели
  1. Сложить или вычесть делимые.
  2. Результат записать в числитель, а знаменатель переписать без изменения.
  • (a / b) + (c / b) = (a + c) / b,
  • (a / b) — (c / b) = (a — c) / b.
Разные знаменатели
  1. Привести дроби к общему знаменателю (НОЗ).
  2. Найти дополнительные множители для числителей путём деления НОЗ на знаменатель каждой дроби.
  3. Выполнить умножение.
  4. В числитель записать сумму или разность, а в знаменатель — НОЗ.
  • (a / с) + (m / b) = (a * b + m * c) / (c * b),
  • (a / с) — (m / b) = (a * b — m * c) / (c * b).

Нужно отметить, что операции со смешанными дробями ничем не отличаются от рассмотренных выше. Единственно, действия с целыми частями выполняются отдельно от дробных, а затем записывается совместный результат.

Примеры решений

Подробное решение примеров дробей для 5 класса с объяснением поможет лучше разобраться в теоретическом материале. При этом полученный опыт позволит самостоятельно решать задания любой сложности. Вот типичные задачи, которые используются в рамках подготовки учеников в средних образовательных школах:

Решение примеров

  1. Найти результат действия: 3 / 14 + 10 / 21. Дроби в выражении имеют разные знаменатели. Согласно алгоритму, их нужно привести к общему знаменателю, а затем с его помощью найти дополнительные множители. Для этого 14 и 42 следует разложить на простые числа: 14 = 2 * 7, 42 = 2 * 3 * 7. Отсюда следует, что НОЗ = 2 * 7 * 3 = 42. Далее, всё по алгоритму: ((3* 3) / 42) + ((2 * 10) / 42) = (9 / 42) + (20 / 42) = (9 + 20) / 42 = 29 / 42.
  2. Определить разность: 26 / 40 — 9 / 25. Пример решается аналогично предыдущему, но перед поиском НОЗ, первый член можно упростить. Для этого числитель и знаменатель нужно разделить на два: 26 / 40 = 13 / 20. Придерживаясь последовательности действий решение можно записать так: 13 / 20 — 9 / 25 = ((13 * 5) / 100) — ((9 * 4) / 100) = (65 — 36) / 100 = 29 / 100.
  3. Вычислить ответ: 3 (5/8) — 1 (9/10). В этом случае удобно целые части вычесть отдельно от дробных. Тогда, решение будет выполнено за два действия. Первое 3 — 1 = 2. Второе (5 / 8) — (9 / 10) = ((5 * 5) / 40) — ((4 * 9) / 40) = (25 — 36) / 40 = 11 / 40. Таким образом, ответ будет: 2 (-11/40). Такая запись некорректная, поэтому из целого нужно вычесть дробное выражение. В итоге получится: (2 / 1) — (11 / 40) = (80 — 11) / 40 = 69 / 40 = 1 (29 / 40).
  4. Найти результат действия: 1 (2/5) + 4 / 5. В этом случае смешанное число удобно перевести в неправильную дробь, а уже после, выполнить сложение. Так, 1 (2/5) = ((1 * 5) + 2) / 6 = 7 / 5. Теперь получились две дроби с одинаковым знаменателем. Воспользовавшись алгоритмом из таблицы, найти их сумму будет несложно: 7 / 5 + 4 / 5 = (7 + 4) / 5 = 11 /5 = 2 (1/5).

Следует отметить, что последний пример можно решить, и не преобразуя смешанную дробь в неправильную. Можно выражение расписать как 1 (2/5) + 4 / 5= 1/ 1 + 2 / 5 + 4 / 5, а затем рассчитать ответ за два действия. Какой способ использовать, принципиальной разницы нет, но, пожалуй, первый удобнее и быстрее.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: