При решении задач по математике в начальных классах иногда требуется найти наибольший общий делитель, или сокращенно — НОД. Однако не все учащиеся знают правильный алгоритм этой операции, а также путают ее с НОК (наименьшим общим кратным). Чтобы не совершать таких ошибок, специалисты-математики разработали универсальные алгоритмы отличия и нахождения искомых значений.
Общие сведения
Специалисты перед обучением рекомендуют составить список базовых знаний, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Он состоит из таких элементов:
- Определения величин.
- Признаки делимости чисел.
- Разложение на простые элементы или множители.
- Алгоритмы или методики нахождения.
Разложение на простые элементы
Простые множители — числа, которые делятся только на единицу или на эквивалентную величину, т. е. 7/1 и 7/7. Разложение величины на простые элементы — найти совокупность чисел, произведение которых и будет составлять искомое значение. Например, 30=3*5*2. Для выполнения этой операции математики разработали специальный алгоритм:
- Написать значение.
- Определить по признакам делимости первый множитель.
- Выполнить операцию деления.
- Подобрать второй множитель для величины, полученной в 3 пункте.
- Реализовать пункты со 2 по 4 включительно.
Однако для понимания принципа работы алгоритма, нужно выполнить разложение на простые значения на практике. Например, для 176 реализация методики имеет следующий вид:
- 176.
- 2: 176/2=88.
- 11: 88/11=8.
- 2: 8/2=4.
- 2: 4/2=2.
- 2: 2/2=1.
Определение НОК
НОК находится также посредством разложения на множители, но алгоритм существенно отличается от НОД. Он имеет следующий вид:
- Разложить величины на множители.
- Взять наименьшее и дополнить его недостающими элементами.
- Вычислить искомое значение НОК.
Чтобы понять принцип работы алгоритма, его нужно реализовать на практике. Для числовых значений 18 и 12 он имеет такой вид:
- 18=3*3*2.
- 12=2*2*3.
- НОК=12*3=36.
Следовательно, наименьшим общим кратным двух чисел является 36. Искомую величину нужно находить в алгебре для приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю при выполнении арифметических операций сложения и вычитания. Следует отметить, что операцию можно выполнять не только для двух, но и для трех чисел. При этом алгоритм существенно усложняется.
Примеры решения
Одной из сложных задач является следующая: найти наибольший общий делитель чисел 32, 66 и 84. Для решения можно воспользоваться одним из способов. Оптимальным из них является разложение на множители:
- 32=2*2*2*2*2.
- 66=11*3*2.
- 84=2*3*2*2*2*2.
- НОД=2.
По методике Евклида решать не рекомендуется, т. к. это усложнит вычисления. Основной принцип физико-математических дисциплин — оптимизация расчетов, т. е. нужно искать способ с наименьшим количеством преобразований и расчетов.
В следующей задаче требуется осуществить поиск НОД для 66, 121, 77 и 110. В этом случае также рекомендуется разложить на простые множители все 4 числа. Поиск решения выполняется по такой методике:
- 66=11*3*2.
- 121=11*11.
- 77=11*7.
- 110=11*5*2.
- НОД=11.
Если рассмотреть 2 этих примера, можно сделать вывод, что считать НОД довольно просто. Далее нужно найти НОК для 22 и 32. Это осуществляется по такой методике:
- 22=11*2.
- 32=8*4=2*2*2*2*2.
- НОК=11*2*2*2*2*2=22*16=352.
Еще одним типом задачи является одновременное нахождение НОД и НОК для чисел 45, 85, 94 и 96. Решение имеет следующий вид:
- 45=5*3*3.
- 85=17*5.
- 94=2*47.
- 96=2*2*3*2*2*2.
- НОД=1 (нет общих множителей, кроме единицы).
- НОК=5*3*3*17*2*47*2*2*2*2*2=1150560.
В математике встречаются более сложные задачи. Одна из них имеет такую формулировку: НОД двух чисел эквивалентен 9, первое число равно 90 и больше второго. Необходимо найти второе ближайшее целое значение. Решается задание по такому алгоритму:
- 90=9*10.
- 81=9*9.
- НОД=9.
Задача решается методом подбора, поскольку по условию ближайшая целая величина эквивалентна 81.
Таким образом, нахождение НОД является довольно простой операцией, если следовать алгоритму и иметь базовые знания.