Бо́льшая (лучшая) часть чего-либо.
Лев — царь зверей, и понятно, что именно его именем логично обозначить бо́льшую часть.
Но почему в этом выражении вообще упомянут зверь?
Считают, что оборот пришёл из басни — литературного жанра, в котором главными героями как раз являются звери, иносказательно изображающие людей.
Басни о несправедливом дележе добычи известны ещё со времён легендарного греческого баснописца Эзопа — и во всех фигурирует лев.
В басне Ивана Андреевича Крылова (1769 — 1844) «Лев на ловле» в дележе участвуют ещё собака, волк и лиса.
Вот как разделил добычу Лев: одну часть себе — по договору, другую себе же — как Льву, третью опять себе — как сильнейшему.
Вы уже догадались, что и четвёртая часть уходит тоже Льву:
А к этой чуть из вас лишь лапу кто протянет,
ЛЬВИ́НАЯ ДО́ЛЯ
Бо́льшая (лучшая) часть чего-либо.