Квадратные уравнения
Квадратным называется равенство вида ax² + bc + c = 0, где x является переменой, a (первый коэффициент), b (второй) и c (свободный) — это действительные числа, которые должны приводить в условии задачи. Нужно помнить при решении, что a ≠ 0. Как уже понятно, оно очень отличается от линейного уравнения, его все изучали в младших классах школы.
Чтобы понять, как решать квадратные уравнения, нужно представить футбольное поле, длина которого на 10 метров больше его ширины, а площадь равна 380 квадратных метров. Нужно найти ширину футбольного поля.
Пусть переменная x — это определённая ширина, тогда её длина будет (х +10) метров. Потом x * (x + 10) = 380, ведь дана площадь 380 квадратных метров в условии задачи, то есть x² + 10x 380 равно нулю. Здесь а = 1, b = 10, а c = -375 Это был один из примеров квадратных равенств.
Различают два вида уравнений:
- Приведённые — это случай, когда в квадратном равенстве a = 1.
- Непривёденные если a ≠ 1.
При этом x² — приведённое, а уже при 5x² оно станет непривёденным.
Понятие дискриминант
Существует определенная система решения таких уравнений. Чтобы найти чётный корень такого равенства, достаточно запомнить приведённую ниже формулу квадратного уравнения.
Буква D — это дискриминант. Звучит сложно, но не стоит пугаться, ведь с латинского языка слово переводится, как разность. Он равен: D = b² 4 ac. Следуя этому, можно записать, что (2ax + b)² = D. Есть определенные правила, как надо решать дискриминант:
- Если D меньше нуля, то действительных корней нет.
- В случае когда D равняется нулю, в решении получается только один действительный корень, но есть редкие случаи с двумя, то есть можно писать при решении в формуле либо +, либо -.
- Если D больше нуля, то в уравнении два действительных корня, то есть и плюс, и минус. Но чтобы укоротить решение достаточно записать ±, вместо двух вариантов решения задачи.
Пример первого способа нахождения через формулу дискриминанта квадратного уравнения и правильным разложением чисел:
- 9х²-6х+1=0,
- D = (-6)² 4 × 9 ×1 = 0,
- D эквивалентен нулю,
- x = -6/2×9 = 1/3.
Как пример можно показать уравнивание: -8x² = 0, у которого b и с равны нулю. Или 2x² 3 = 0, b ничему не равно. В уравнении -7x² + 4x² = 0 c эквивалентно нулю.
Разные квадратные уравнения
Квадратные равенства с комплексными переменными почти ничем не отличаются от плоскости действительных чисел и тем, которые должны проходить в восьмых классах. И чтобы без проблем их решать, нужно использовать формулу.
Если в квадратном равенстве хотя бы один из общих коэффициентов квадратного трехчлена B или C равен нулю, то такое равенство называют неполным.
Следовательно оно бывает только трёх видов:
- ax² + c равно нулю, тогда с не будет равняться нулю. Чтобы это лучше понять, приводится уравнение ах² = -c, x² = -c/a. Поскольку c ≠ 0 тогда и -с/а также не равно нулю. Если -с/а больше нуля, то получается два корня: х1 = корень из -с/а и ещё х2 = корень из с/а. Также можно написать вместо минуса и плюса одно уравнение из знаком: ±. Возможен случай, когда ситуация является обратной (-с/а <, 0), тогда корней совсем нет. Пример: -2х² + 50 равняется нулю. -2х²= -50, х² = 25, х1,2 = ±5.
- ах² + bx = 0, и при этом b нулю не равно. Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное х * (ах + b) = 0. Ответ: x равен нулю или ax + b = 0, но x = -b/a, поскольку a ≠ 0. В итоге должно выйти два корня: х1 = 0 и х2 = -b/a. Один из примеров: 2х² + 5х эквивалентен нулю, х(2х+ 5) = 0, х= 0 или 2х + 5 = 0. На данный момент очевидно, что x2 = -2,5 и х1 эквивалентен нулю.
Из истории математики
Это показал древнегреческий учёный Диофант. Много внимания таким уравнениям также выделял арабский математик Мухаммед Альхорезми. Он нашёл как решать уравнение видов: ах²=bx, ax²=c, ax²+bx=c, ax²+c=bx, bc+c=ax² и получил положительные корни.
Формулы, что связывают между собой корни равенства и его коэффициенты, впервые нашёл французский математик Франсуа Виет в 1591 году. Его заключения в современных обозначениях имеют вид: (а + b)x x² = 0.
После быстрой публикации работы нидерландского математика Жераром, а также француза Декарда и англичанина Ньютона равенство корней квадратного уравнения приобрело современный вид.
| Уравнения | х1 и х2 | х1+х2 | х1×х2 |
| х² -6х + 8 = 0 | 2 и 4 | 6 | 8 |
| x²+x-12=0 | -4 и 3 | -1 | -12 |
| x²-4x-5=0 | -3 и -2 | -5 | 6 |
| x²-4x-5=0 | -1 и 5 | 4 | -5 |
Сейчас речь идёт о теореме Виета, на которую нужно обратить внимание. Её так называют из-за известного французского математика Франсуа Виета, которым и было открыто это свойство. Сумма корней сведенного квадратного равенства равно другому коэффициенту, взятому с отрицательным знаком, а произведение корней — свободному члену. Часто его записывают в таком виде: х² + px + q эквивалентно нулю.
Теорему можно сформулировать так.
Если х1 и х2 — корни сведенного квадратного равенства х²+px+q эквивалентны нулю, то х1 + х2 = -p, x1 * x2 = q. Поскольку a ≠ 0, поделим две части уравнения на а и получается современная формула: x² b/a * x + c/a равно нулю.